المملكة المغربية
أكاديمية التميز والابتكار
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان التمييز
الترتيب والعمليات - المستوى الأقصى
GOLDEN ELITE LEVELالمستوى: الثانية إعدادي
الموسم: 2026 / 2025
المدة: 1 ساعة
التمرين الأول: تحدي المقارنة والاستدلال
6 ن
1) بدون استخدام الآلة الحاسبة، قارن العددين التاليين مع التعليل:
\( X = \sqrt{13} - \sqrt{11} \) and \( Y = \sqrt{11} - \sqrt{9} \)
كشف سر الحل (استخدام المرافق)
- نضرب في المرافق ونقسم عليه:
\( X = \frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}} = \frac{13-11}{\sqrt{13}+\sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}} \)
\( Y = \frac{(\sqrt{11}-\sqrt{9})(\sqrt{11}+\sqrt{9})}{\sqrt{11}+\sqrt{9}} = \frac{11-9}{\sqrt{11}+\sqrt{9}} = \frac{2}{\sqrt{11}+3} \)
- نلاحظ أن مقام \( X \) أكبر من مقام \( Y \)، إذن الكسر \( X \) أصغر من \( Y \).
- النتيجة: **\( X < Y \)**.
\( X = \frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}} = \frac{13-11}{\sqrt{13}+\sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}} \)
\( Y = \frac{(\sqrt{11}-\sqrt{9})(\sqrt{11}+\sqrt{9})}{\sqrt{11}+\sqrt{9}} = \frac{11-9}{\sqrt{11}+\sqrt{9}} = \frac{2}{\sqrt{11}+3} \)
- نلاحظ أن مقام \( X \) أكبر من مقام \( Y \)، إذن الكسر \( X \) أصغر من \( Y \).
- النتيجة: **\( X < Y \)**.
2) ليكن \( a \ge 1 \). قارن التعبيرين التاليين:
\( \frac{a}{a+1} \) and \( \frac{a+1}{a+2} \)
كشف الحل (دراسة إشارة الفرق)
- نحسب الفرق: \( \frac{a}{a+1} - \frac{a+1}{a+2} = \frac{a(a+2) - (a+1)^2}{(a+1)(a+2)} \)
- نبسط البسط: \( (a^2+2a) - (a^2+2a+1) = -1 \)
- بما أن الفرق \( \frac{-1}{(a+1)(a+2)} \) سالب، فإن:
**\( \frac{a}{a+1} < \frac{a+1}{a+2} \)**.
- نبسط البسط: \( (a^2+2a) - (a^2+2a+1) = -1 \)
- بما أن الفرق \( \frac{-1}{(a+1)(a+2)} \) سالب، فإن:
**\( \frac{a}{a+1} < \frac{a+1}{a+2} \)**.
التمرين الثاني: التأطير المركب (Encadrement)
7 ن
ليكن \( a \) و \( b \) عددين بحيث: \( -4 \le a \le -2 \) و \( -3 \le b \le -1 \).
أطّر (Encadrer) التعبيرات التالية بأقصى قدر من الحذر:
\( a \times b \)
الحل (فخ السالبين)
- نؤطر المقابلات أولاً: \( 2 \le -a \le 4 \) و \( 1 \le -b \le 3 \).
- نضرب الموجبات: \( 2 \times 1 \le (-a)(-b) \le 4 \times 3 \).
- بما أن \( (-a)(-b) = ab \)، فإن: **\( 2 \le ab \le 12 \)**.
- نضرب الموجبات: \( 2 \times 1 \le (-a)(-b) \le 4 \times 3 \).
- بما أن \( (-a)(-b) = ab \)، فإن: **\( 2 \le ab \le 12 \)**.
\( \frac{1}{a+b} \)
الحل (تأطير المجموع ثم المقلوب)
- تأطير المجموع: \( -4-3 \le a+b \le -2-1 \implies -7 \le a+b \le -3 \).
- المقلوب يغير الترتيب: **\( -\frac{1}{3} \le \frac{1}{a+b} \le -\frac{1}{7} \)**.
- المقلوب يغير الترتيب: **\( -\frac{1}{3} \le \frac{1}{a+b} \le -\frac{1}{7} \)**.
التمرين الثالث: الاستدلال والبرهنة
7 ن
1) برهن أنه مهما كان العدد الجذري الموجب \( x \)، فإن:
\( \frac{x^2+4}{x} \ge 4 \)
كشف البرهان العبقري
- ندرس إشارة الفرق: \( \frac{x^2+4}{x} - 4 = \frac{x^2+4-4x}{x} \)
- نلاحظ أن البسط متطابقة هامة: \( \frac{(x-2)^2}{x} \)
- بما أن المربع موجب و \( x \) موجب، فإن التعبير موجب.
- إذن: **\( \frac{x^2+4}{x} \ge 4 \)**.
- نلاحظ أن البسط متطابقة هامة: \( \frac{(x-2)^2}{x} \)
- بما أن المربع موجب و \( x \) موجب، فإن التعبير موجب.
- إذن: **\( \frac{x^2+4}{x} \ge 4 \)**.
2) إذا كان \( a+b=1 \)، قارن \( a^2+b^2 \) و \( \frac{1}{2} \):
كشف الحل
- نعلم أن \( (a-b)^2 \ge 0 \).
- ننشر: \( a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 \implies a^2+b^2 \ge 2ab \).
- نضيف \( a^2+b^2 \) للطرفين: \( 2(a^2+b^2) \ge a^2+2ab+b^2 \).
- إذن: \( 2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2 \).
- وبما أن \( a+b=1 \)، فإن \( 2(a^2+b^2) \ge 1 \).
- النتيجة: **\( a^2+b^2 \ge \frac{1}{2} \)**.
- ننشر: \( a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 \implies a^2+b^2 \ge 2ab \).
- نضيف \( a^2+b^2 \) للطرفين: \( 2(a^2+b^2) \ge a^2+2ab+b^2 \).
- إذن: \( 2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2 \).
- وبما أن \( a+b=1 \)، فإن \( 2(a^2+b^2) \ge 1 \).
- النتيجة: **\( a^2+b^2 \ge \frac{1}{2} \)**.
Commentaires
Publier un commentaire